LA DEMONSTRATION  
     

I. Quelques définitions.

 
Définition :
 
  Une propriété est une expression de la forme " Si … alors … ". L'expression après le " Si " est appelée hypothèse et l'expression après le " alors " la conclusion.

 
Exemple :
 
  Si deux droites sont perpendiculaires alors il y a un angle droit.
Si deux droites sont perpendiculaires est l'hypothèse.
alors il y a un angle droit est la conclusion.

 
Définition :
 
  La réciproque est une propriété obtenue en inversant hypothèse et conclusion d'une autre propriété.

 
Exemple :
 
  La réciproque de la propriété précédente est :
Si deux droites forment un angle droit alors elles sont perpendiculaires.

    Les réciproques n'existent pas toujours.
Propriété : Si deux droites sont perpendiculaires alors elles sont sécantes.
Réciproque : Si deux droites sont sécantes alors elles sont perpendiculaires.
La réciproque est fausse puisque deux droites sécantes ne sont pas perpendiculaires en général.

II. Propriétés.
1. Droites.

 
Propriété :
 
  Si deux droites sont parallèles à une même droite alors elles sont parallèles entre-elles.

 
Propriété :
 
  Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles.

 
Propriété :
 
  Si deux droites sont parallèles et une troisième droite est perpendiculaire à l'une alors elle est perpendiculaire à l'autre.

2. Médiatrices.

 
Propriété :
 
  Si une droite est perpendiculaire et passe par le milieu d'un segment alors c'est une médiatrice.

 
Propriété :
 
  Si une droite est une médiatrice d'un segment alors elle passe par le milieu de ce segment et est perpendiculaire à celui-ci.

 
Propriété :
 
  Si tous les points d'une droite sont équidistants des extrémités d'un même segment alors la droite est la médiatrice de ce segment.

 
Propriété :
 
  Si une droite est une médiatrice d'un segment alors tous les points de la droite sont équidistants des extrémités du segment.

3. Triangles.

 
Propriété :
 
  Si un triangle a deux côtés de même longueur alors c'est un triangle isocèle.

 
Propriété :
 
  Si un triangle a deux angles de même mesure alors c'est un triangle isocèle.

 
Propriété :
 
  Si un triangle est isocèle alors il a deux côtés de même longueur et deux angles de même mesure.

 
Propriété :
 
  Si un triangle a un angle droit alors il est rectangle.

 
Propriété :
 
  Si un triangle est rectangle alors il a deux angles complémentaires.

 
Propriété :
 
  Si un triangle est rectangle alors il a un angle droit et deux angles complémentaires.

 
Propriété :
 
  Si un triangle a trois côtés de même longueur alors il est équilatéral.

 
Propriété :
 
  Si un triangle a trois côtés de même mesure (60°) alors il est équilatéral.

 
Propriété :
 
  Si un triangle est équilatéral alors il a trois côtés de même longueur et trois angles de 60°.

III. Des règles à suivre ...

Des exemples ne suffisent pas à prouver qu'un énoncé est vrai.

 
Exemple :
 
  Propriété : Si un nombre est pair alors il se termine par 4.
4, 14, 24, 34, … sont pairs pourtant la propriété est fausse.

Un unique exemple est suffisant pour prouver qu'un énoncé est faux. On l'appelle le contre-exemple.

 
Exemple :
 
  Propriété : Si un nombre est pair alors il se termine par 4.
2 est pair et ne se termine pas par 4 donc 2 est le contre-exemple prouvant que la propriété est fausse.

Une constatation, une mesure sur un dessin ne suffit pas pour prouver qu'un énoncé est vrai.
UN DESSIN N'EST PAS UNE PREUVE !!!

IV. On démontre ...

Une démonstration est une suite de chaînon de la forme :
  * Je sais que … (hypothèses de l'énoncé)
  * Si … alors … (propriété générale)
  * Donc … (conclusion à la question posée)

V. Méthode.
Avant de rédiger la démonstration, on va réfléchir à l'envers à partir d'un éventuel dessin.
  * On fait un dessin à main levée.
* On cherche la conclusion de la démonstration : elle doit répondre à la question posée.
* Trouver toutes les propriétés qui admettent comme conclusion la réponse souhaitée.
* On cherche parmi les propriétés sélectionnées, celle dont l'hypothèse est vérifiée par l'énoncé.
* On rédige la démonstration en commençant par les hypothèses nécessaires à la propriété.

 
Exemple :
 
  Soient A, B, C trois points non alignés tel que AB = AC .
Montrer que ABC est isocèle.
 
Brouillon :
 
  * Donc ABC es isocèle en A.
* P1 : Si un triangle a deux côtés de même longueur alors il est isocèle.
. P2 : Si un triangle a deux angles de même mesure alors il est iscocèle.
* C'est P1 qui est la bonne propriété car on sait que AB = AC.
 
Rédaction:
 
  * Je sais que AB = AC
* Si un triangle a deux côtés de même longueur alors il est isocèle.
* Donc ABC isocèle en A.